Moving Gjennomsnittet Pacf

Identifisere antall AR - eller MA-termer i en ARIMA-modell. ACF - og PACF-plott Etter at en tidsserie er stasjonærisert ved differensiering, er neste trinn i å tilpasse en ARIMA-modell å avgjøre om AR eller MA-termer er nødvendige for å korrigere enhver autokorrelasjon som forblir i differensierte serien Selvfølgelig, med programvare som Statgraphics, kan du bare prøve forskjellige kombinasjoner av termer og se hva som fungerer best Men det er en mer systematisk måte å gjøre dette ved å se på autokorrelasjonsfunksjonen ACF og delvis autokorrelasjon PACF plott av differensierte serier, kan du forsøke identifisere antall AR - og MA-termer som trengs. Du er allerede kjent med ACF-plottet. Det er bare et stregdiagram over koeffisientene for korrelasjon mellom en tidsserie og lag i seg selv. PACF-plottet er et plott av de delvise korrelasjonskoeffisientene mellom serien og lagene av seg selv. Generelt er den partielle korrelasjonen mellom to variabler mengden korrelasjonsbetwee n dem som ikke forklares av deres gjensidige korrelasjoner med et spesifisert sett med andre variabler. For eksempel, hvis vi regresserer en variabel Y på andre variabler X1, X2 og X3, er den partielle korrelasjonen mellom Y og X3 mengden korrelasjon mellom Y og X3 som ikke forklares av deres felles korrelasjoner med X1 og X2 Denne partielle korrelasjonen kan beregnes som kvadratroten av reduksjonen i variansen som oppnås ved å legge X3 til regresjonen av Y på X1 og X2.A delvis auto korrelasjon er mengden av korrelasjon mellom en variabel og et lag i seg selv som ikke forklares av korrelasjoner i alle lavere rekkefølge-lag. Autokorrelasjonen av en tidsserie Y ved lag 1 er koeffisienten for korrelasjonen mellom Y t og Y t - 1 som er antagelig også korrelasjonen mellom Y t -1 og Y t -2. Men hvis Y t er korrelert med Y t -1 og Y t -1 er like korrelert med Y t -2 da bør vi også forvente å finne korrelasjon mellom Y t og Y t-2 Faktisk mengden korrel ation vi bør forvente ved lag 2 er nettopp det firkantet av lag-1 korrelasjonen Altså korrelasjonen ved lag 1 forplanter seg til lag 2 og antagelig til høyere rekkefølge lags. Den delvise autokorrelasjonen ved lag 2 er derfor forskjellen mellom den faktiske korrelasjonen ved lag 2 og forventet korrelasjon på grunn av forplantning av korrelasjon ved lag 1. Her er autokorrelasjonsfunksjonen ACF i UNITS-serien, før noen differensiering utføres. Autokorrelasjonene er signifikante for et stort antall lags - men kanskje autokorrelasjonene ved lags 2 og over skyldes bare forplantningen av autokorrelasjonen ved lag 1 Dette bekreftes av PACF-plottet. Merk at PACF-plottet kun har en signifikant topp i lag 1, noe som betyr at alle høyereordens autokorrelasjoner effektivt forklares av Lag-1 autokorrelasjon. De delvise autokorrelasjonene i alle lags kan beregnes ved å montere en rekke autoregressive modeller med økende antall lags. Spesielt den delvise autokorrelasjon ved lag k er lik den estimerte AR k koeffisienten i en autoregressiv modell med k-termer - det vil si en multiple regresjonsmodell der Y regresseres på LAG Y, 1, LAG Y, 2 osv. opp til LAG Y, k. ved bare inspeksjon av PACF kan du bestemme hvor mange AR-termer du må bruke for å forklare autokorrelasjonsmønsteret i en tidsserie hvis den delvise autokorrelasjonen er signifikant ved lag k og ikke signifikant ved en hvilken som helst høyere rekkefølge - dvs. hvis PACF kuttes av i lag k - dette antyder at du bør prøve å tilpasse en autoregressiv bestillingsmodell k. PACF i UNITS-serien gir et ekstremt eksempel på cut-off fenomenet, det har en veldig stor spike ved lag 1 og ingen andre signifikante spikes, noe som indikerer at i mangel av differensiering skal en AR 1-modell brukes. AR 1-termen i denne modellen vil imidlertid vise seg å være ekvivalent med en første forskjell, fordi den estimerte AR 1-koeffisienten som er høyden av PACF-spissen ved lag 1 blir nesten nøyaktig e kvalifisert til 1 Nå er prognose-ligningen for en AR 1-modell for en serie Y uten ordrer med differensiering. Hvis AR 1-koeffisienten 1 i denne ligningen er lik 1, tilsvarer den at den første forskjellen på Y er konstant - det vil si at det tilsvarer likningen av den tilfeldige turmodellen med vekst. PACF i UNITS-serien forteller oss at hvis vi ikke skiller det, så skal vi passe en AR 1-modell som vil vise seg å være tilsvarer å ta en første forskjell Med andre ord forteller det oss at UNITS virkelig trenger en ordre av differensiering for å være stationarized. AR og MA signaturer Hvis PACF viser en skarp cutoff mens ACF faller sakte, dvs. har betydelige pigger på høyere lags , sier vi at den stasjonære serien viser en AR-signatur, noe som betyr at autokorrelasjonsmønsteret kan forklares lettere ved å legge til AR-vilkår enn ved å legge til MA-termer. Du vil sannsynligvis finne at en AR-signatur vanligvis knyttes til positiv autokorrelasjon ved lag 1 - dvs. det har en tendens til å oppstå i serie som er litt under differens Årsaken til dette er at en AR-term kan virke som en delvis forskjell i prognosekvasjonen. For eksempel, i en AR 1-modell virker AR-termen som en Første forskjell hvis den autoregressive koeffisienten er lik 1, det gjør ingenting hvis den autoregressive koeffisienten er null, og det virker som en delvis forskjell hvis koeffisienten er mellom 0 og 1 Så hvis serien er litt underdifferensiert - dvs. hvis den ikke-stationære mønsteret av positiv autokorrelasjon er ikke fullstendig eliminert, det vil be om en delvis forskjell ved å vise en AR-signatur. Derfor har vi følgende tommelfingerregel for å bestemme når du skal legge til AR-vilkår. Rul 6 Hvis PACF av differenced-serien viser en skarp cutoff og eller lag-1 autocorrelation er positiv - hvis serien virker litt underdifferensiert - da vurderer du å legge til et AR-uttrykk for modellen. Laget som PACF kuttet av er det angitte nummeret av AR-vilkår. I prinsippet kan ethvert autokorrelasjonsmønster fjernes fra en stasjonær serie ved å legge til nok autoregressive termer lags av den stationære serien til prognosekvasjonen, og PACF forteller deg hvor mange slike termer er sannsynlig nødvendig. Dette er imidlertid ikke alltid den enkleste måten å forklare et gitt mønster av autokorrelasjon noen ganger er det mer effektivt å legge til MA-termer som lags av prognosefeilene i stedet Autokorrelasjonsfunksjonen ACF spiller samme rolle for MA-termer som PACF spiller for AR-termer - det vil si ACF forteller deg hvor mange MA-termer som sannsynligvis er nødvendig for å fjerne gjenværende autokorrelasjon fra differensierte serier Hvis autokorrelasjonen er signifikant ved lag k, men ikke på noen høyere lag - dvs. hvis ACF slår av ved lag k - dette indikerer det nøyaktig k MA termer bør brukes i prognosekvasjonen I sistnevnte tilfelle sier vi at den stasjonære serien viser en MA signatur, noe som betyr at autokorrelasjonsmønsteret kan forklares lettere ved å legge til MA-vilkår enn ved å legge til AR-betingelser. En MA-signatur er vanligvis forbundet med negativ autokorrelasjon ved lag 1 - det vil si at det oppstår i serie som er litt over forskjellig Årsaken til dette er at en MA-term kan delvis Avbryt en rekkefølge av differensiering i prognosekvasjonen For å se dette, husk at en ARIMA 0,1,1 modell uten konstant er ekvivalent med en enkel eksponentiell utjevningsmodell. Prognosekvasjonen for denne modellen er. Hvor MA 1 koeffisient 1 tilsvarer kvantum 1 - i SES-modellen Hvis 1 er lik 1, tilsvarer dette en SES-modell med 0, som bare er en CONSTANT-modell fordi prognosen er aldri oppdatert. Dette betyr at når 1 er lik 1, avbryter den faktisk differensoperasjonen som vanligvis gjør det mulig for SES-prognosen å forankre seg selv ved siste observasjon På den annen side, dersom den gjennomsnittlige koeffisienten er lik 0, reduseres denne modellen til en tilfeldig turmodell, dvs. Såfremt 1 er noe større enn 0, er det som om vi delvis avbestiller en differensordre. Hvis serien allerede er litt over differensiert - dvs. hvis negativ autokorrelasjon er innført - da vil den be om en forskjell for å bli delvis avbrutt ved å vise en MA-signatur Mye armvinking skjer her En mer strenge forklaring på denne effekten finnes i den matematiske strukturen til ARIMA Models handout Derav følgende ekstra tommelfingerregel. Rulle 7 Hvis ACF av differensierte serier viser en skarp cutoff og eller lag 1-autokorrelasjonen er negativ - hvis serien ser litt overdifferensiert ut - overvei å legge til et MA-term på modellen. Det lag som ACF kuttet av er det angitte antallet av MA termer. En modell for UNITS-serien - ARIMA 2,1,0 Tidligere bestemte vi oss for at UNITS-serien trengte minst én rekkefølge av nonseasonal differensiering som skal stasjonæriseres. Etter å ha tatt en ikke-sesongforskjell - dvs. Montering av en ARIMA 0,1,0-modell med konstant - ACF - og PACF-plottene ser slik ut. Merk at en korrelasjon ved lag 1 er signifikant og positiv, og b viser PACF en skarpere cutoff enn ACF Spesielt PACF har bare to signifikante toppene, mens ACF har fire. I henhold til regel 7 ovenfor viser differensierte serier en AR 2-signatur. Hvis vi derfor stiller AR-ordens rekkefølge til 2 - dvs. passe en ARIMA 2,1, 0-modellen - vi får følgende ACF - og PACF-plott for residualene. Autokorrelasjonen på de avgjørende lagene - nemlig lags 1 og 2 - er eliminert, og det er ikke noe merkbart mønster i høyere rekkefølge. Tidsserien av residualene viser en litt bekymringsmessig tendens til å vandre bort fra gjennomsnittet. Imidlertid viser analysesammendraget at modellen likevel utfører ganske bra i valideringsperioden, begge AR-koeffisientene er signifikant forskjellig fra null og standardavviket for residuene har blitt redusert fra 1 54371 t o 1 4215 nesten 10 ved tillegg av AR-vilkårene Videre er det ikke noe tegn på en rotasjonsenhet fordi summen av AR-koeffisientene 0 252254 0 195572 ikke er nær 1 Enhetsrøtter blir diskutert i flere detaljer under. dette ser ut til å være en god modell. De uforvandlede prognosene for modellen viser en lineær oppadgående trend som forventes i fremtiden. Trenden i de langsiktige prognosene skyldes at modellen inkluderer en ikke-sesongforskjell og en konstant term denne modellen er i utgangspunktet en tilfeldig tur med vekst finjustert ved å legge til to autoregressive termer - det vil si to lag av differensierte serier Hellingen av de langsiktige prognosene, dvs. den gjennomsnittlige økningen fra en periode til en annen, er lik gjennomsnittlig sikt i modelloppsummering 0 467566 Forutsigelsesligningen er. hvor er det konstante uttrykket i modelloppsummeringen 0 258178, 1 er AR 1-koeffisienten 0 25224 og 2 er AR 2-koeffisienten 0 195572.Manan mot konstant Generelt er det gjennomsnittlige begrepet i utgang av en AR IMA-modellen refererer til middelverdien av differensierte serier, dvs. den gjennomsnittlige trenden hvis rekkefølgen av differensiering er lik 1, mens konstanten er den konstante termen som vises på høyre side av prognosekvasjonen. De gjennomsnittlige og konstante termer er relatert av ligningen. KONSTANT MEAN 1 minus summen av AR koeffisientene. I dette tilfellet har vi 0 258178 0 467566 1 - 0 25224 - 0 195572.Alternativ modell for UNITS-serien - ARIMA 0,2,1 Husk at da vi begynte å analysere UNITS-serien, var vi ikke helt sikre på riktig rekkefølge av differensiering å bruke. En rekkefølge av ikke-soneforskjeller ga den laveste standardavviket og et mønster av mild positiv autokorrelasjon, mens to ordrer av ikke-soneforskjeller ga en mer stasjonær - utsigende tidsserier plot, men med ganske sterk negativ autokorrelasjon Her er både ACF og PACF av serien med to nonseasonal forskjeller. Enkelt negativt spike ved lag 1 i ACF er en MA 1 signatur, accordin g til regel 8 ovenfor. Hvis vi skulle bruke 2 ikke-sæsonforskjeller, vil vi også inkludere et MA 1-term, som gir en ARIMA 0,2,1-modell. I henhold til regel 5 vil vi også undertrykke den konstante sikt Her er da resultatene av å montere en ARIMA 0,2,1 modell uten konstant. Merk at estimert hvit støy standardavvik RMSE er bare svært litt høyere for denne modellen enn den forrige 1 46301 her versus 1 45215 tidligere Forutsetningen ligningen for denne modellen er. hvor theta-1 er MA 1-koeffisienten Husk at dette ligner en lineær eksponentiell utjevningsmodell med MA 1-koeffisienten som svarer til mengden 2 1-alfa i LES-modellen. MA 1 koeffisienten på 0 76 i denne modellen antyder at en LES-modell med alfa i nærheten av 0 72 ville passe like bra. Faktisk, når en LES-modell er utstyrt med de samme dataene, viser den optimale verdien av alfa seg å være rundt 0 61, som er ikke for langt unna Her er en modell sammenligningsrapport som viser resultatene av å montere ARIMA 2,1,0-modellen med konstant, ARIMA 0,2,1-modellen uten konstant, og LES-modellen. De tre modellene utfører nesten identisk i estimeringsperioden, og ARIMA 2,1, 0 modell med konstant fremstår noe bedre enn de to andre i valideringsperioden. På grunnlag av disse statistiske resultatene alene ville det være vanskelig å velge blant de tre modellene. Men hvis vi plottar de langsiktige prognosene som ARIMA 0 har gjort, 2,1 modell uten konstant som i det vesentlige er den samme som for LES-modellen, ser vi en vesentlig forskjell fra tidligere modell. Prognosene har noe mindre oppadgående trend enn de tidligere modellene, fordi de lokale trenden nær slutten av serien er litt mindre enn gjennomsnittsutviklingen over hele serien - men konfidensintervallene vokser mye raskere. Modellen med to ordrer av differensiering antar at trenden i serien er tidsvarierende, og derfor vurderer den fjerne fremtiden å være mye mer usikker enn modellen med bare en rekke forskjeller. Hvilken modell skal vi velge Det avhenger av antagelsene vi er komfortable å gjøre med hensyn til konstant trenden i data Modellen med bare en ordre av differensiering antar en konstant gjennomsnittlig trend - det er i hovedsak en finjustert tilfeldig turmodell med vekst - og det gjør derfor relativt konservative trendprognoser. Det er også ganske optimistisk om nøyaktigheten som den kan prognose mer enn en periode framover. Modellen med to Ordrer av differensiering antar en tidsvarig lokal trend - det er i hovedsak en lineær eksponensiell utjevningsmodell - og dens trendfremskrivninger er noe mer svake. Som en generell regel i en slik situasjon vil jeg anbefale å velge modellen med den lavere rekkefølgen av differensiering, andre ting er omtrent like i praksis, random-walk eller simple-eksponentiell-utjevning modeller synes ofte å fungere bedre enn lineær eksponensiell utjevning modeller. Blandede modeller I de fleste tilfeller viser den beste modellen en modell som enten bruker bare AR-vilkår eller bare MA-termer, men i enkelte tilfeller kan en blandet modell med både AR - og MA-termer gi best mulig passform til dataene. må utøves ved montering av blandede modeller Det er mulig for en AR-term og en MA-term å avbryte hverandres effekter, selv om begge kan virke signifikante i modellen, dømt av t-statistikken for koeffisientene. For eksempel, anta at Den riktige modellen for en tidsserie er en ARIMA 0,1,1-modell, men i stedet passer du til en ARIMA 1,1,2-modell - det vil si at du inkluderer en ekstra AR-term og en ekstra MA-term. Deretter kan de ytterligere vilkårene ende opp Det ser ut til å være signifikant i modellen, men internt kan de bare arbeide mot hverandre. De resulterende parameterestimatene kan være tvetydige, og parameterestimeringsprosessen kan ta svært mange, f. eks. mer enn 10 iterasjoner for å konvergere. Derfor er det mulig for en AR term og en MA-term til avbryte hverandres effekter, så hvis en blandet AR-MA-modell ser ut til å passe dataene, kan du også prøve en modell med en færre AR-term og en færre MA-term. Spesielt hvis parameterestimatene i den opprinnelige modellen krever mer enn 10 iterasjoner å konvergere. Av denne grunn kan ARIMA-modeller ikke identifiseres ved tilbaketrukket trinnvis tilnærming som inkluderer både AR - og MA-termer. Med andre ord kan du ikke begynne å inkludere flere vilkår for hver type og deretter kaste ut de som ikke har signifikante koeffisienter i stedet , følger du vanligvis en fremad trinnvis tilnærming, legger til vilkår av en type eller den andre som angitt ved utseendet på ACF - og PACF-plottene. Utfør røtter Hvis en serie er grovt under - eller overdifferensiert - det vil si om en rekke forskjellige differensieringsbehov å bli lagt til eller avbrutt, signaliseres dette ofte av en rotasjonsenhet i estimerte AR - eller MA-koeffisienter for modellen. En AR1-modell sies å ha en rotasjonsenhet hvis den estimerte AR 1-koeffisienten er nesten nøyaktig lik 1 Ved e xactly like jeg mener egentlig ikke vesentlig forskjellig fra når det gjelder koeffisientens egen standardfeil Når dette skjer, betyr det at AR 1-termen nøyaktig etterligner en første forskjell, i så fall bør du fjerne AR 1-sikt og legge til en bestilling av differensier i stedet Dette er akkurat hva som ville skje hvis du monterte en AR 1-modell til den uifferensierte UNITS-serien, som nevnt tidligere. I en AR-modell med høyere rekkefølge finnes en enhetrot i AR-delen av modellen hvis summen av AR koeffisientene er nøyaktig lik 1 I dette tilfellet bør du redusere rekkefølgen på AR-begrepet med 1 og legge til en differensasjonsordre. En tidsserie med en rotasjonsenhet i AR-koeffisientene er ikke-stationær - det krever en høyere rekkefølge av differensiering. Regel 9 Hvis det er en enhetrot i AR-delen av modellen - dvs. hvis summen av AR-koeffisientene er nesten nøyaktig 1 - bør du redusere antall AR-termer med en og øke rekkefølgen for differensiering av en. På samme måte er en MA 1-modell sies å ha en un det roter hvis den estimerte MA 1-koeffisienten er nøyaktig lik 1 Når dette skjer, betyr det at MA 1-termen nøyaktig avbryter en første forskjell, i så fall bør du fjerne MA 1-termen og også redusere rekkefølgen av differensieringen ved en I en MA-modell med høyere rekkefølge eksisterer en enhetrot hvis summen av MA-koeffisientene er nøyaktig lik 1.Rule 10 Hvis det finnes en rotor i MA-delen av modellen - dvs. hvis summen av MA koeffisienter er nesten nøyaktig 1 - du bør redusere antall MA-termer for en og redusere rekkefølgen av differensiering med en. For eksempel, hvis du passer til en lineær eksponensiell utjevningsmodell, er en ARIMA 0,2,2-modell når en enkel eksponensiell utjevning modell en ARIMA 0,1,1 modell ville ha vært tilstrekkelig, kan du oppdage at summen av de to MA koeffisientene er nesten like lik 1 Ved å redusere MA rekkefølgen og rekkefølgen av differensiering av en hver, får du det mer hensiktsmessige SES-modell En prognosemodell med en rotasjonsenhet i estimerte MA koeffisienter er s hjelp til å være uendelig, noe som betyr at resterne av modellen ikke kan betraktes som estimater av den sanne tilfeldige støyen som genererte tidsserien. Et annet symptom på en rotasjonsenhet er at prognosene for modellen kan blåse opp eller på annen måte oppføre seg bizarr Hvis tiden seriemodell av de langsiktige prognosene for modellen ser merkelig ut, bør du sjekke de estimerte koeffisientene til modellen din for tilstedeværelse av enhetsrot. Rule 11 Hvis de langsiktige prognosene virker uregelmessige eller ustabile, kan det være en rotasjonsenhet i AR - eller MA-koeffisientene. Ingen av disse problemene oppstod med de to modellene som var montert her, fordi vi var forsiktige med å starte med plausible ordninger for differensiering og passende antall AR - og MA-koeffisienter ved å studere ACF - og PACF-modellene. Nærmere detaljerte diskusjoner av Enhetsrøtter og kanselleringseffekter mellom AR og MA-termer finnes i den matematiske strukturen til ARIMA Models handout. En korrelogramhistorie. I dataanalyse starter vi vanligvis med beskrivende statistiske egenskaper av prøvedataene, f. eks. gjennomsnitt, standardavvik, skew, kurtosis, empirisk distribusjon osv. Disse beregningene er absolutt nyttige, men de tar ikke hensyn til rekkefølgen av observasjonene i prøvedataene. Tidsserieanalyse krever at vi tar hensyn å bestille, og krever dermed en annen type beskrivende statistikk tidsserier, beskrivende statistikk, eller bare korrelogramanalyse. Korrelogramanalysen undersøker tids-romlig avhengighet i eksempeldataene, og fokuserer på empirisk auto-kovarians, automatisk korrelasjon og relatert statistiske tester Endelig er korrelogrammet en hjørnestein for å identifisere modell og modellordre s. Hva forteller et plot for automatisk korrelasjon ACF og eller delvis automatisk korrelasjons PACF oss om den underliggende prosessdynamikken. Denne opplæringen er litt mer teoretisk enn tidligere opplæring i samme serie, men vi vil gjøre vårt beste for å drive intuisjonene hjem for deg. Først begynner vi med en definisjon for automatisk korrelasjonsfunksjon, forenkle den og undersøke den teoretiske ACF for en ARMA-type prosess. Auto-korrelasjonsfunksjon ACF. Ved definisjon blir den automatiske korrelasjonen for lag k uttrykt som følger. auto-korrelasjonsfunksjon for lag k. auto - kovarians for lag k. time serie varians ubetinget. Stasjonær tidsserier ubetinget mean. Furthermore, la s antar det som er generert fra en svak-stasjonær prosess med null betyr jeg e. For finite sample data, den empiriske auto-korrelasjonen uttrykkes som følger. j neq 0 sigma 2 j 0 slutt høyre data-sidespeed-url-hash 3448620129.Nå, la s beregne ACF for forskjellige lags. theta1 2a 2 theta2 2a 2 theta3 2a 2 thetaq 2a 2 høyre sigma 2 igjen 1 sum thetaj 2 høyre data-sidespeed-url-hash 2790545473. theta1 theta2a 2 theta2 theta3a 2 theta thetaqa 2 høyre sigma 2 left theta1 sum thetaj theta right data - sidespeed-url-hash 4120581346. theta1 theta3a 2 theta2 theta4a 2 theta thetaqa 2 høyre sigma 2 venstre theta2 sum thetaj theta høyre data-sidespeed-url-hash 4195645926. theta1 theta en 2 theta2 theta en 2 theta thetaqa 2 høyre sigma 2 venstre theta3 sumt thetaj theta rett data-siderpeed-url-hash 586088199. data-siderpeed-url-hash 610845080. frac thetaj theta thetaj 2 k leq q 0 k succ q slutt høyre data-siderpeed-url-hash 1209414616. ACF-plottet for en MA q-prosessen er ikke-null for de første q-lagene. MA-en har et endelig minne på størrelse q. ACF-plottet viser minnestørrelseskravet til modellen. En ARMA-modell med endelig minne kan beskrives fullt ut ved hjelp av en MA-type modell Koeffisientverdiene til MA-modellen er verdiene for auto-korrelasjonsfunksjonen. Eksempel 2 - A R 1 modell. Nesten, la oss se på en enkel, automatisk regressiv AR-rekkefølge 1. Denne ACF-plottet er også uendelig, men den faktiske formen kan følge forskjellige mønstre. En AR-prosess kan representeres av en uendelig MA prosess. AR har uendelig minne, men effekten minker over tid. Eksponensielle utjevningsfunksjoner er spesielle tilfeller av en AR-prosess, og de har også uendelig minne. Eksempel 4 - ARMA p, q-modell. Nå ser vi hva ACF-plottet av en ren MA og AR-prosessen ser ut, men hva med en blanding av de to modellene. Spørsmål hvorfor må vi vurdere en blandingsmodell som ARMA, siden vi kan representere hvilken som helst modell som en MA eller en AR-modell. Svar vi prøver å redusere minnekrav og kompleksiteten av prosessen ved å super-imponere de to modellene. Langsiktig, betinget prosess betyr fra AR-komponenten. I motsetning til AR p-modellens karakteristiske røtter. Ved hjelp av MA q auto-korrelasjonsformelen kan vi beregne ARMA p, q auto-korrelasjonsfunksjoner for MA-representanten ion. Dette blir intens Noen av dere lurer kanskje på hvorfor vi ikke har brukt VAR eller en statlig romrepresentasjon for å forenkle notasjonene jeg gjorde et poeng å forbli i tidsdomene, og unngikk nye ideer eller matte triks som de ikke ville betjene våre intensjoner her Impliserer den nøyaktige AR MA-rekkefølgen ved hjelp av ACF-verdiene av seg selv, noe som er alt annet enn presis. Innledning ACF-verdiene kan betraktes som koeffisientverdiene til den tilsvarende MA-modellen. Innføring Den betingede variansen har ingen barriereeffekt på auto-korrelasjonsberegninger. Intuisjon Det langsiktige gjennomsnittet har heller ikke noen barriereffekt på auto-korrelasjonene. Den automatiske korrelasjonsfunksjonen PACF. Nå har vi sett det å identifisere modellordren MA eller AR er ikke - trivial for ikke-enkle tilfeller, så vi trenger et annet verktøy delvis automatisk korrelasjonsfunksjon PACF. Den delvise automatiske korrelasjonsfunksjonen PACF spiller en viktig rolle i dataanalyse som er rettet mot å identifisere omfanget av lagret i en autoregressiv modell Bruken av denne funksjonen ble introdusert som en del av Box-Jenkins tilnærming til tidsseriemodellering, hvor man kunne bestemme hensiktsmessige lag p i en AR p-modell eller i en utvidet ARIMA p, d, q modell ved å plotte den delvise auto korrelasjonsfunksjoner. Enkelt sagt er PACF for lag k regresjonskoeffisienten for kth sikt, som vist nedenfor. PACF antar at den underliggende modellen er en AR k og bruker flere regressjoner for å beregne den siste regresjonskoeffisienten. Merk at det og at. Quick intuisjon PACF-verdiene kan tenkes i grove grad som koeffisientverdiene til den tilsvarende AR-modellen. Hvordan er PACF-hjelpen til oss Antar vi har en AR p-prosess, så vil PACF ha betydelige verdier for de første p-lagene, og vil slippe til null etterpå. Hva med MA prosessen MA prosessen har ikke-null PACF verdier for et teoretisk uendelig antall lags. Eksempel 4 MA 1.2 1 Moving Average Models MA modeller. Tidsseriemodeller kjent som ARIMA-modeller kan inkludere autoregressive vilkår og eller flytte gjennomsnittlige vilkår I uke 1 lærte vi et autoregressivt uttrykk i en tidsseriemodell for variabelen. xt er en forsinket verdi på xt. For eksempel er et lag 1 autoregressivt uttrykk x t-1 multiplisert med en koeffisient Denne leksjonen definerer glidende gjennomsnittlige termer. En glidende gjennomsnittlig term i en tidsseriemodell er en fortid feil multiplikert med en koeffisient. La oss oversette N 0, sigma 2w, noe som betyr at vekten er identisk, uavhengig distribuert, hver med en normal fordeling som har betydning 0 og den samme variansen. Den 1 st ordningen beveger gjennomsnittlig modell, betegnet med MA 1 er. xt mu wt theta1w. Den 2. ordre flytte gjennomsnittlig modell, betegnet av MA 2 er. xt mu wt theta1w theta2.Den q ordreberegning av gjennomsnittlig modell, betegnet med MA q er. xt mu wt theta1w theta2w prikker thetaq. Note Mange lærebøker og programvare definerer modellen med negative tegn før betingelsene. Dette endrer ikke de generelle teoretiske egenskapene til modellen, selv om den ikke flipper de algebraiske tegnene på estimerte koeffisientverdier og ubetingede vilkår i formler for ACFer og avvik Du må sjekke programvaren din for å verifisere om negative eller positive tegn har blitt brukt for å skrive riktig estimert modell R bruker positive tegn i sin underliggende modell, slik vi gjør her. Theoretiske egenskaper av en tidsrekke med en MA 1-modell. Merk at den eneste ikke-nullverdien i teoretisk ACF er for lag 1 Alle andre autokorrelasjoner er 0 Således er en prøve-ACF med en signifikant autokorrelasjon bare ved lag 1 en indikator på en mulig MA 1-modell. For interesserte studenter, Bevis på disse egenskapene er et vedlegg til denne utleveringen. Eksempel 1 Anta at en MA 1-modell er xt 10 wt 7 w t-1 hvor overskuddet N 0,1 Altså koeffisienten 1 0 7 Th e teoretisk ACF er gitt av. Et plott av denne ACF følger. Plottet som nettopp er vist er den teoretiske ACF for en MA 1 med 1 0 7 I praksis fikk en prøve t vanligvis et slikt klart mønster. Ved hjelp av R simulerte vi n 100 Eksempelverdier ved hjelp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 hvor w t. iid N 0,1 For denne simuleringen følger en tidsserier av prøvedataene. Vi kan ikke fortelle mye fra denne plottet. Prøven ACF for den simulerte data følger Vi ser en spike ved lag 1 etterfulgt av generelt ikke signifikante verdier for lags fortid 1 Merk at prøven ACF ikke samsvarer med det teoretiske mønsteret til den underliggende MA 1, som er at alle autokorrelasjoner for lags forbi 1 vil være 0 A forskjellig prøve ville ha en litt annen prøve-ACF som vist nedenfor, men vil trolig ha de samme brede funksjonene. Deoretiske egenskaper av en tidsrekkefølge med en MA 2-modell. For MA 2-modellen er teoretiske egenskaper følgende. Merk at den eneste ikke-null Verdiene i teoretisk ACF er for lags 1 og 2 Autocorrelat ioner for høyere lags er 0 Så, en prøve-ACF med signifikante autokorrelasjoner ved lags 1 og 2, men ikke-signifikante autokorrelasjoner for høyere lags indikerer en mulig MA 2-modell. Nid koeffisientene er 1 0 5 og 2 0 3 Fordi dette er en MA 2, vil den teoretiske ACF ha null nullverdier bare ved lags 1 og 2.Values ​​av de to ikke-autokorrelasjonene er. En plot av den teoretiske ACF følger. Som nesten alltid er tilfellet, vil prøvedata vunnet t oppføre seg ganske så perfekt som teori Vi simulerte n 150 utvalgsverdier for modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 hvor w t. iid N 0,1 Tidsseriens plott av dataene følger Som med tidsseriens plott for MA1-prøvedataene, kan du ikke fortelle mye av det. Prøven ACF for de simulerte dataene følger Mønsteret er typisk for situasjoner der en MA 2-modell kan være nyttig. Det er to statistisk signifikante pigger på lags 1 og 2 etterfulgt av ikke - - sviktige verdier for andre lag. Merk at på grunn av prøvetakingsfeil ikke samsvarte ACF det teoretiske mønsteret nøyaktig. ACF for General MA q Models. A egenskapen til MA q - modeller generelt er at det er ikke-null autokorrelasjoner for de første q lags og autocorrelations 0 for alle lags q. Non-uniqueness av forbindelse mellom verdier på 1 og rho1 i MA 1-modell. I MA 1-modellen, for en verdi på 1, gir den gjensidige 1 1 samme verdi. For eksempel, bruk 0 5 for 1 og bruk deretter 1 0 5 2 for 1 Du får rho1 0 4 i begge tilfeller. For å tilfredsstille en teoretisk begrensning som kalles invertibilitet begrenser vi MA 1-modeller til å ha verdier med absolutt verdi mindre enn 1 I eksemplet som er gitt, vil 1 0 5 være en tillatelig parameterverdi, mens 1 1 0 5 2 ikke vil. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sies å være invertibel hvis den er algebraisk tilsvarer en konvergerende uendelig rekkefølge AR-modell. Ved konvertering mener vi at AR-koeffisientene reduseres til 0 når vi beveger oss tilbake i tiden. Invertibility er en begrensning programmert inn i tidsserier programvare som brukes til å estimere coeff ICE-modeller med MA-vilkår Det er ikke noe vi ser etter i dataanalysen. Ytterligere informasjon om inverterbarhetsbegrensningen for MA 1-modeller er gitt i vedlegget. Avansert teoretisk merknad For en MA q-modell med en spesifisert ACF, er det bare en inverterbar modell Den nødvendige betingelsen for inverterbarhet er at koeffisientene har verdier slik at ligningen 1- 1 y - qyq 0 har løsninger for y som faller utenfor enhetens sirkel. R Kode for eksemplene. I eksempel 1 plottet vi teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 og deretter simulert n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsseriene og prøven ACF for de simulerte data R-kommandoene som ble brukt til å plotte den teoretiske ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF for MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skaper en variabel som heter lags som varierer fra 0 til 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 legger en horisontal akse til plottet. Th e første kommandoen bestemmer ACFen og lagrer den i en gjenstand som heter acfma1 vårt valg av navn. Plot-kommandoen 3. kommando-plottene lags versus ACF-verdiene for lags 1 til 10 ylab-parameteren merker y-aksen og hovedparameteren setter en tittel på plottet. For å se de numeriske verdiene til ACF, bruk bare kommandoen acfma1. Simuleringen og plottene ble gjort med følgende kommandoer. liste ma c 0 7 Simulerer n 150 verdier fra MA 1 x xc 10 legger til 10 for å lage gjennomsnitt 10 Simuleringsstandarder betyr 0 plot x, type b, hoved Simulert MA 1 data acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert prøve-data. I eksempel 2 skisserte vi den teoretiske ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 og simulerte deretter n 150 verdier fra denne modellen og plottet prøve tidsserien og prøven ACF for den simulerte data R-kommandoene som ble brukt var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, type h, hoved ACF for MA 2 med theta1 0 5, theta2 0 3 abline h 0 liste ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, type b, hoved Simulert MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, hoved ACF for simulert MA 2 Data. Appendix Bevis på egenskaper til MA 1.For interesserte studenter, her er det bevis på teoretiske egenskaper til MA 1-modellen. Varianttekst xt tekst mu wt theta1 w 0 tekst wt tekst theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1 er det forrige uttrykket 1 w 2 For noen h 2 , forrige uttrykk 0 Årsaken er at ved definisjon av uavhengighet av Wt E wkwj 0 for noen kj Videre, fordi wt har betyde 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Bruk dette resultatet for å få ACF gitt ovenfor. En inverterbar MA-modell er en som kan skrives som en uendelig rekkefølge AR-modell som konvergerer slik at AR-koeffisientene konvergerer til 0 mens vi beveger oss uendelig tilbake i tid. Vi skal demonstrere inverterbarhet for MA 1-modellen. substituttforhold 2 for w t-1 i ligning 1. 3 zt wt theta1 z - theta1w wt theta1z - theta 2w. At tiden t-2 ligning 2 blir. Vi erstatter deretter forhold 4 for w t-2 i ligning 3. zt wt theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.If vi skulle fortsette uendelig, ville vi få den uendelige rekkefølgen AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prikker. Merk at hvis 1 1, vil koeffisientene som multipliserer lagene av z, øke uendelig i størrelse når vi beveger seg tilbake i tid. For å forhindre dette, trenger vi 1 1 Dette er betingelsen for en inverterbar MA 1 modell. Infinite Order MA modell. I uke 3 ser vi at en AR 1-modell kan konverteres til en uendelig rekkefølge MA-modell. xt - mu wt phi1w phi 21w prikker phi k1 w prikker sum phi j1w. Denne summeringen av tidligere hvite støybetingelser er kjent som en årsakssammenstilling av en AR 1 Med andre ord er xt en spesiell type MA med et uendelig antall termer går tilbake i tid Dette kalles en uendelig ordre MA eller MA En endelig ordre MA er en uendelig orden AR og en hvilken som helst endelig ordre AR er en uendelig ordre MA. Recall i uke 1, bemerket vi at et krav til en stasjonær AR 1 er at 1 1 La oss beregne Var xt ved hjelp av årsakssammensetningen. Dette siste trinnet bruker et grunnleggende faktum om geometriske serier som krever phi1 1 ellers ser serien ut.